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快速处理区间加减问题-前缀和、二维前缀和与差分

前言

在了解二维前缀和之前，我们首先需要了解一下什么是前缀和。

如果我给你一串长度为n的数列a1,a2,a3……an,再给出m个询问，每次询问给出L，R两个数，要求给出区间[L,R]里的数的和，你会怎么做，若是没有了解过前缀和的人看到这道题的想法可能是对于m次询问，我每次都遍历一遍它给的区间，计算出答案，这样子的方法固然没错，但是其时间复杂度达到了O(n*m)，如果数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到O(n+m),大大节省了运算时间。至于怎么用，请看下面一小段代码

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a[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1];

没错，前缀和顾名思义就是前面i个数的总和。数组a在经过这样的操作之后，对于每次的询问，我们只需要计算a[R]-a[L-1]就能得到我们想要的答案了，是不是很简单呢。

在知道了最简单的前缀和之后，我们再来了解一下什么是差分。

给你一串长度为n的数列a1,a2,a3……an，要求对a[L]~a[R]进行m次操作：

操作一：将a[L]~a[R]内的元素都加上P

操作二：将a[L]~a[R]内的元素都减去P

最后再给出一个询问求a[L]-a[R]内的元素之和？

你会怎么做呢？你可能会想，我对于m次操作每次都遍历一遍a[L]~a[R],给区间里的数都加上P或减去P，最后再求一次前缀和就行了。没错，这样子确实也能得出正确答案，但时间复杂度却高达O(M*n)，对于1<=n,m<=1e5这个数据范围来说直接就tle了，所以说这个方法不可行。既然这样不行的话，那我们要怎么做才能快速的得到正确答案呢？是的，这个时候我们的差分就该派上用场了，我们新开一个数组b，储存每一次的修改操作，最后求前缀和的时候统计一下就能快速的得到正确答案了，详细请看下面代码。

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int maxn = 1e5+9;
int[] a = new int[maxn],b = new int[maxn];
int main(){
 int i,j,k,n,m,p;
    Scanner sc = new Scanner(System.in);
    n = sc.nextInt();
    m = sc.nextInt();
    for(i=1;i<=n;i++){
        a[i] = sc.nextInt();
    }
    for(i=1;i<=m;i++){
        int L,R,t;
        t = sc.nextInt();
        L = sc.nextInt();
        R = sc.nextInt();
        p = sc.nextInt();
        if(t==1){
            b[L]+=p;b[R+1]-=p; //仔细想想为什么b[R+1]要减去p 
        }
        else{
            b[L]-=p;b[R+1]+=p;
        }
    }
    int add=0;
    for(i=1;i<=n;i++){
        add+=b[i];
        a[i]+=a[i-1]+add;
    }
    int x,y;
    System.out.println(x);
    System.out.println(y);
    System.out.println(a[y]-a[x-1]);
}

相信看到这里，大家已经仔细思考过代码了，为什么操作一时b[R+1]要减去p，很简单，因为操作一我只需对[L,R]区间里的数加p，[R+1,n]这个区间里的数没必要加p，所以需要减掉p。

差分讲解完毕，接下来我们终于要开始今天的正题——二维前缀和了。

总结
  • 对于已知有n个元素的数列A[1~n],我们可以建立记录它每项与前一项的差值的差分数组B：显然：B[1]=A[1]-0;对于整数i∈[2,n],取A[i]-A[i-1]为其差分数组B[i]的值
  • 性质
    • 计算数列各项的值：可以发现数列A的第i项的值是可以用其差分数组B的前n项和计算，即A[i]=∑Bj
      • 计算数列的前缀和：第i项的前缀和即为数列前i项的和，那么推导可知
  • 用途
    • 快速处理区间加减操作：如果进行区间加减操作，且修改的区间连续，那么若将[x,y]区间内A[i]各加val，我们就可以只对其差分数组B的x和y这两项进行修改，x项B[x]加val ,y项 B[y+1]减val。
    • 询问区间和问题：在保证（1）正确修改的基础上，我们可以由性质（2）计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即A[L]+…+A[R] = ans = sum[R]-sum[L-1].
二维

还是以小问题的形式来讲解二维前缀和吧。

给定一个n*m大小的矩阵a，有q次询问，每次询问给定x1,y1,x2,y2四个数，求以(x1,y1)为左上角坐标和(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有元素和。注意仍然包含左上角和右下角的元素。

怎么做呢？为了方便你们理解，我画个图吧。

图画的很丑，希望不要介意。如图所示，按题目要求，我们每次要求的答案就是红色圆圈所在的区域的值（注意，这里的x1,x2表示行，y1,y2表示列),对比上面这张图我们能够发现红色区域的值等于四个区域的值减去（白色区域+黑色区域），再减去（白色区域+蓝色区域)，最后因为白色区域被减了两次，我们需要再加回来。所以ans=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1]；(注意，此时的a数组代表的是前缀和)。突然想起来还没说怎么求二维前缀和，很简单，看下面代码。

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for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++)
    a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
}

为方便理解贴个图

假如我想求a[2][4]的前缀和，我得先加上a[1][4]的前缀和，再加上a[2][3]的前缀和，然后这个时候我们发现实际上a[1][3]这个部分我们加了两遍，所以我们需要再减去一遍a[1][3]，于是得出公式a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1]。

接下来看完整代码吧。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+9;
int a[maxn][maxn];
int main(){
    int i,j,k,n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j];
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
    }
    for(i=1;i<=q;i++){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        int ans=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
        cout<<ans<<endl;
    }
}

是不是感觉很简单呢，哈哈哈哈哈哈哈。

在学完二维前缀和之后，一些同学可能会有疑问，一维前缀和能用上差分，那么二维前缀和能不能用上差分呢？答案是肯定的。

差分

那么怎么差分呢？方法是和一维类似的，我们也是需要另开一个数组记录修改操作，最后求前缀和时统计修改操作，只是二维每一次操作需要记录4个位置，一维只需要记录2个位置。具体怎么做，看下面代码吧。

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for(int i=0;i<m;i++){//m是修改操作次数
    int x1,y1,x2,y2,p;
    cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>p;
    b[x1][y1]+=p;b[x2+1][y2+1]+=p;
    b[x2+1][y1]-=p;b[x1][y2+1]-=p;
}

好了，一维前缀和、二维前缀和、差分都说完了，希望看这篇文章的人能够有所收获吧。

@原文链接
@参考链接

二分查找细节分析

思路

我相信对很多读者朋友来说，编写二分查找的算法代码属于玄学编程，虽然看起来很简单，就是会出错，要么会漏个等号，要么少加个 1。

不要气馁，因为二分查找其实并不简单。看看 Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）怎么说的：

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward,
the details can be surprisingly tricky…

这句话可以这样理解：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，while 里到底用 <= 还是 <

你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来歌颂该算法，概括本文的主要内容，建议保存：

本文以问答的形式，探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数. 寻找左侧边界. 寻找右侧边界。第一个场景是最简单的算法形式，解决 这道题，后两个场景就是本题。

本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数. 寻找左侧边界. 寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

零-二分查找框架
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int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = ...;

    while(...) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = ...
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = ...
        }
    }
    return ...;
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中 … 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大直接相加导致溢出。

一-寻找一个数（基本的二分搜索）

这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

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int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0;
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid;
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意
    }
    return -1;
}
  1. 为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

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if(nums[mid] == target) return mid;

但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [left, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
当然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

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//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

  1. 为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
    答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
    刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？
    当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

  2. 此算法有什么缺陷？
    答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
    比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
    这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
    我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

二-寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

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int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意

    while (left < right) { // 注意
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意
        }
    }
    return left;
}

  1. 为什么 while 中是 < 而不是 <=?
    答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。
    while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。
    PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的 right 不是 nums.length - 1 吗，为啥这里非要写成 nums.length 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？
    因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

  2. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

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while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
  1. 为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？
    答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。
  2. 为什么该算法能够搜索左侧边界？
    答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：
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if (nums[mid] == target)
    right = mid;

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

  1. 为什么返回 left 而不是 right？
    答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

  2. 能不能想办法把 right 变成 nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。
    答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：
    因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 nums.length - 1，while 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

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int left_bound(int[] nums, int target) {
    // 搜索区间为 [left, right]
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // if else ...
    }

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

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if (nums[mid] < target) {
    // 搜索区间变为 [mid+1, right]
    left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
    // 搜索区间变为 [left, mid-1]
    right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
    // 收缩右侧边界
    right = mid - 1;
}

由于 while 的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：

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if (left >= nums.length || nums[left] != target)
    return -1;
return left;

至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

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int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    // 搜索区间为 [left, right]
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            // 搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            // 搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 收缩右侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 检查出界情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}

这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

三-寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

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int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;
    
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    return left - 1; // 注意
}
  1. 为什么这个算法能够找到右侧边界？
    答：类似地，关键点还是这里：
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if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

  1. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 right 才对。
    答：首先，while 循环的终止条件是 left == right，所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right - 1 好了。
    至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
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if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 这样想: mid = left - 1

因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。

  1. 为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
    答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
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while (left < right) {
    // ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
  1. 是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。
    答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：
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int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 这里改成收缩左侧边界即可
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：

至此，搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了，其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？

四-逻辑统一

来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：

  • 第一个，最基本的二分查找算法：
    因为我们初始化 right = nums.length - 1
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
    所以决定了 while (left <= right)
    同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
    因为我们只需找到一个 target 的索引即可
    所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回

  • 第二个，寻找左侧边界的二分查找：
    因为我们初始化 right = nums.length
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
    所以决定了 while (left < right)
    同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
    因为我们需找到 target 的最左侧索引
    所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
    而要收紧右侧边界以锁定左侧边界

  • 第三个，寻找右侧边界的二分查找：
    因为我们初始化 right = nums.length
    所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
    所以决定了 while (left < right)
    同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
    因为我们需找到 target 的最右侧索引
    所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
    而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
    又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
    所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
    对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：

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int binary_search(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if(nums[mid] == target) {
            // 直接返回
            return mid;
        }
    }
    // 直接返回
    return -1;
}

int left_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，收缩左侧边界
            right = mid - 1;
        }
    }
    // 最后要检查 left 越界的情况
    if (left >= nums.length || nums[left] != target)
        return -1;
    return left;
}


int right_bound(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid - 1;
        } else if (nums[mid] == target) {
            // 别返回，收缩右侧边界
            left = mid + 1;
        }
    }
    // 最后要检查 right 越界的情况
    if (right < 0 || nums[right] != target)
        return -1;
    return right;
}

如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。

通过本文，你学会了：

  1. 分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。
  2. 注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
  3. 如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在 nums[mid] == target 时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
  4. 如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改 nums[mid] == target 条件处的代码和返回的逻辑即可，推荐拿小本本记下，作为二分搜索模板。
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来源：力扣（LeetCode）
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本文标题:algorithm&summary

文章作者:D0MA4T2

发布时间:2020-03-10, 05:14:37

最后更新:2020-03-13, 21:21:08

原始链接:http://hblog.colorfulboxes.cn/2020/03/10/%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E7%BB%86%E8%8A%82%E5%88%86%E6%9E%90/

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文章目录
  1. 1. Roadmap
  2. 2. 快速处理区间加减问题-前缀和、二维前缀和与差分
    1. 2.1. 前言
    2. 2.2. 总结
    3. 2.3. 二维
    4. 2.4. 差分
  3. 3. 二分查找细节分析
    1. 3.1. 零-二分查找框架
    2. 3.2. 一-寻找一个数（基本的二分搜索）
    3. 3.3. 二-寻找左侧边界的二分搜索
    4. 3.4. 三-寻找右侧边界的二分查找
    5. 3.5. 四-逻辑统一